Cálculo de esfuerzos en pórticos de concreto armado

Este artículo se presenta como una lectura clave y básica acerca del cálculo de esfuerzos en pórticos de concreto armado, y en relación con los contenidos que se abordan en el Máster en Estructuras de Edificación con CYPE. Una de las tipologías más frecuentes en edificación son los edificios de pisos, es decir, edificios formados por varios planos horizontales superpuestos.

Existen diversas maneras de resolver la estructura de los edificios de pisos. Una de las más frecuentes consiste en apoyar losas unidireccionales sobre vigas dispuestas en dirección perpendicular que recogen las cargas y las llevan a las columnas. La combinación de vigas y columnas/pilares en cada dirección se denomina pórtico o marco.

Por supuesto, es preciso resolver cómo resiste la estructura ante esfuerzos horizontales, tanto en la dirección de los pórticos como en dirección perpendicular. Existen diversas maneras de hacerlo, bien con los propios pórticos diseñados como resistentes a momentos o bien con otros sistemas, como muros de cortante. Sin embargo, en este texto nos centraremos en los pórticos como sistema resistente a cargas verticales

Por lo tanto, el sistema estructural típico consiste en una serie de pórticos planos - formados por vigas rectas sobre columnas alineadas- que recogen las cargas transmitidas por losas unidireccionales.

De este modo, el análisis bajo cargas verticales se simplifica a un sistema bidimensional que recibe las cargas de las losas. En la figura vemos un edificio formado por 3 pórticos (azul, verde y rojo) y el esquema del pórtico verde central en 2D, con las cargas que le transmiten las losas.

Esta simplificación permite abordar un cálculo manual  que de otra manera habría sido difícilmente posible. 

En 1930 Hardy Cross publicó su método de distribución de momentos, basado en aproximaciones sucesivas, que permitía calcular estructuras hiperestáticas con métodos asumibles en aquellos tiempos. Durante décadas se publicaron multitud de textos sobre el método, aparecieron otros métodos iterativos (Takabeya, Kani…) y se buscaron simplificaciones que permitieran su uso más rápido y más generalizado para proyectos complejos, pero el proceso era muy laborioso, como podemos ver en la imagen, que muestra Cálculo de un pórtico de solo 2 claros y 1 altura por el método de Cross implantado en una hoja de cálculo. 

Actualmente el método de Cross carece de interés práctico, porque es demasiado engorroso y poco versátil. Para un cálculo completo usamos programas de cálculo matricial y para un predimensionado usamos métodos aproximados. El cálculo matricial implica necesariamente el uso de programas de ordenador, ya que el número de ecuaciones aumenta exponencialmente con el tamaño de la estructura. 

A cambio, amplía de gran manera las posibilidades del cálculo, se puede resolver de manera similar un pórtico plano que un pórtico tridimensional y se pueden añadir correcciones en la rigidez de los elementos. Los métodos aproximados son mucho más limitados, pero casi inmediatos. Considerando pórticos planos con luces similares y con carga uniforme, el camino consiste en aplicar coeficientes tabulados al producto de la carga lineal por el cuadrado de la luz. A continuación veremos cómo lo propone ACI-318 y cómo lo proponía la antigua EH-91.

Tablas de ACI-318

ACI-318 propone un método aproximado basado en coeficientes para estructuras regulares que cumplan las siguientes condiciones: 

• (a) Los miembros son prismáticos. 
• (b) Las cargas están uniformemente distribuidas. 
• (c) La carga viva no debe ser mayor que el triple de la carga muerta. 
• (d) Haya dos o más vanos. 
• (e) La luz del mayor de dos vanos adyacentes no excede en más de 20 por ciento la luz del menor. 

A efectos de predimensionado no es preciso ser estrictos con las limitaciones, aunque sí conviene tenerlas presentes. 

Segunda parte - Estructuras de concreto

Para estructuras de concreto resulta habitual considerar que el extremo de las vigas es monolítico con las columnas, por lo que tomamos como negativo el valor  w_n·l_n²/16 y como positivo del primer vano el valor w_n·l_n²/14. En los demás vanos interiores tomamos w_n·l_n²/16. Si la viga tiene 2 vanos tomamos w_n·l_n²/9 en el negativo interior. Si tiene más, tomamos w_n·l_n²/10 en el primero y w_n·l_n²/11 en los siguientes. Resumiendo:

Podemos apreciar que, como habríamos obtenido con un análisis de esfuerzos, el vano exterior tiene un mayor momento positivo que los interiores. El negativo en el extremo es pequeño y en los apoyos interiores es mayor. Por último, como cortante se toma el isostático, con el matiz de que en el primer soporte se aumenta un 15 % para considerar el efecto hiperestático de la importante diferencia de momentos entre el extremo exterior y el interior.   

Con estos cortantes tenemos también los axiales en las columnas. El método no nos da valores de momentos en las columnas. En última planta podemos tomar el momento del extremo del vano, en las plantas inferiores la mitad.

Ejemplo práctico con estructuras de concreto

Predimensionamos los momentos flectores del pórtico central de este edificio, considerando una carga en combinación 1,20·D+1,60·L=60 kN/m y soportes de 40 cm.

 La luz libre es l_n=6,00-0,40=5,60 m. El producto w_n·l_n² vale 60×5,60²=1882 m·kN. Por lo tanto los momentos valen 

El cortante vale w_n·l_n=60×5,60/2=168 kN en cada apoyo, excepto en los primeros apoyos interiores que aumenta un 15 %: 168×1,15=193 kN 

Podemos sintetizarlo en una hoja de cálculo; se muestra sólo la mitad de la viga, ya que es simétrica. 

Podemos observar además que el método aproximado nos da únicamente los momentos negativos y positivos máximos, resta trazar los diagramas completos para poder abordar el despiece. Calcular el pórtico con un programa de cálculo matricial, como Cype 3D, nos permite obtener los diagramas completos que facilitarían un despiece posterior. Además podemos apreciar otras cuestiones, como la diferencia entre la cubierta y la planta de entrepiso, especialmente en los nudos extremos. 

También podemos calcular los esfuerzos en Cypecad, la captura es directa desde el edificio inicial, modelado tridimensionalmente. 

Los valores son similares. En cualquier caso no debemos olvidar que cuando calculamos con Cype 3D o con Cypecad estamos introduciendo muchos más parámetros que el método aproximado omite, como las secciones de las columnas y vigas.   Por ejemplo, con columnas de 30×30 se reduce el empotramiento de las vigas y aumentan los flectores. 

Cypecad, como programa específico para edificios de pisos, aplica además correcciones a la rigidez, redondos de momentos sobre los apoyos, redistribuciones y otros matices que permiten ajustar el cálculo.   Además, nos ofrece el despiece de armado, que podemos editar. 

Tablas de EH-91

La antigua EH-91 incluía en su artículo 52.2 un método aproximado aplicable a estructuras regulares, con luces similares y con cargas verticales uniformemente repartidas, sin que las sobrecargas superasen la mitad de las cargas permanentes. En estas condiciones se podrían obtener los esfuerzos de la figura. Los valores indicados multiplican al producto q·L², donde q es la carga repartida y L es la luz entre ejes. 

Los números entre paréntesis indican la relación entre la rigidez de las vigas y la de los soportes.  Por ejemplo, si en el soporte pone (1) y en la viga pone (2), como vemos en verde, indica que la rigidez de la viga es doble que la del soporte. Si ponen (1) y (1), en rojo, viga y soporte tienen la misma rigidez. 

 La relación de rigideces influye especialmente en lo momentos en pilares y en los negativos de los extremos exteriores de las vigas, apenas influye en los restantes momentos de las vigas. A efectos de predimensionado, podríamos resumirlo así: 

Vemos que, a diferencia de las tablas de ACI-318, la tabla de EH-91 distingue entre vigas de entrepiso y vigas de cubierta: en cubierta es menor el negativo en el extremo y, como contrapartida, aumenta el positivo. Como cortantes basta tomar los isostáticos, aumentados en un 15% en el primer soporte interior. Con los cortantes tenemos también los axiles en pilares. El método nos da además los momentos en pilares extremos: el momento del extremo de viga en última planta y la mitad en las plantas inferiores. No aparecen momentos en los pilares centrales, algo aceptable si las luces son muy similares; de lo contrario, se podría aplicar al pilar la mitad de diferencia entre los momentos calculados para cada vano.

Ejemplo de proyecto

Predimensionamos los momentos flectores del siguiente pórtico, considerando una carga en cubierta de 40 kN/m y una carga en entrepiso de 50 kN/m. 

En cubierta, el producto q·L² es 40×5²=1000 m·kN.

• En el negativo extremo M=q·L²/30=1000/30=33 m·kN
• En el negativo central M=q·L²/9=1000/9=111 m·kN
• En el vano M=q·L²/12=1000/12=83 m·kN

En el entrepiso, el producto q·L² es 50×5²=1250 m·kN.

• En el negativo extremo M=q·L²/20=1250/20=63 m·kN
• En el negativo central M=q·L²/9=1250/9=139 m·kN
• En el vano M=q·L²/14=1250/14=89 m·kN

Lo sintetizamos en una hoja de cálculo: 

 Finalmente vemos el pórtico calculado en Cype 3D y con Cypecad, incluyendo el despiece de armaduras. 

¿Conclusiones?

El reglamento ACI-318 y la instrucción EH-91 nos ofrecen una manera sencilla de calcular pórticos planos regulares, con luces similares y cargas uniformes. Aunque hay leves diferencias en los coeficientes que aplican, los valores que obtenemos son muy similares entre sí y muy parecidos también a los que podemos obtener con un cálculo matricial, por lo que resultan adecuados para el predimensionado y para el verificar que los resultados de un cálculo informático están dentro del orden de magnitud esperado. Por supuesto, la cosa se complica cuando nos salimos de la sencillez de los pórticos planos regulares. Ocurre que la estructuras no siempre tienen las columnas alineadas y separadas a distancias similares, ni los paños son iguales, hay huecos, cargas concentradas, chaflanes, etc. El edificio de ejemplo ACI podría ser así: 

Y la cosa puede complicarse mucho más:

El cálculo con ordenador nos permite considerar muchas más situaciones y obtener además los planos y los despieces de armado en tiempos inverosímiles manualmente, pero siempre debemos tener presente que el cálculo aproximado nos devuelve la conciencia de lo que tenemos entre manos.